Inhalt

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1 WKAero: Berechnung von Windturbinen mit horizontaler Achse
 1.1 Übersicht und Einführung
 1.2 Eingabedaten
  1.2.1 Umgebungsbedingungen
  1.2.2 Blattaerodynamik und Blattgeometrie
  1.2.3 Turm
  1.2.4 Kennfeld und Betriebsbereich
  1.2.5 Triebstrang
  1.2.6 Numerik
  1.2.7 Datenexport
 1.3 Entwurf der Blattgeometrie
2 Grundlagen und aerodynamisches Modell
 2.1 Strömungsmodell
 2.2 Schubkraft in der Rotorebene
 2.3 Geschwindigkeit in der Rotorebene
 2.4 Leistung der Windturbine
 2.5 Drallbehaftete Rotorabströmung
Literatur

1 WKAero: Berechnung von Windturbinen mit horizontaler Achse

1.1 Übersicht und Einführung

Die vorliegende Programmdokumentation beschreibt die Anwendung sowie den theoretischen Hintergrund von WKAero zur Berechnung des stationären Betriebsverhaltens von Windkraftanlagen auf Basis der Blattelementmethode nach [1].

WKAero kann für folgende Aufgabenstellungen eingesetzt werden:

Die Bedienung des Berechnungsprogramms erfolgt plattformunabhängig über den Webbrowser. Die Eingabedaten werden über client- und serverseitige Methoden verarbeitet, wobei die eigentliche Berechnung auf dem calcing -Berechnungsserver ausgeführt wird (Ausnahme: Intranet-Version). Die folgenden Abschnitte beinhalten die Beschreibung der Eingabedaten mit wichtigen Definitionen in Kapitel 1.2 sowie eine Zusammenfassung der Grundlagen und verwendeten Gleichungen in Kapitel 2.

1.2 Eingabedaten

Die Eingabedaten sind zur übersichtlichen Bedienung in zusammengehörende Parametersätze gegliedert. Diese teilen sich in Datensätze für z.B. die Umgebungsbedingungen, Blattaerodynamik und Geometrie, Blattfestigkeit, Turm, usw. auf. In den folgenden Absätzen werden die Eingabedaten in tabellarischer aufgeführt und erläutert. Die Tabelle enthält den Parameternamen, die physikalische Einheit, den Wertebereich (oder default-Einstellungen) sowie die Art der Variablen (i=integer, r=real, c=char). In der aktuellen Version werden keine Abhängigkeiten der Eingabedaten untereinander überprüft, sodass die korrekte Eingabe von Werten vom Benutzer überprüft werden muss (z.B. Blattspitzenradius > Nabenradius).

1.2.1 Umgebungsbedingungen

Aus den gegebenen Umgebungsbedingungen wird die Luftdichte nach der idealen Gasgleichung berechnet.







Parameter Zeichen Einheit BeispielwertArt










Umgebungstemperatur Tt C 15.0 r





Umgebungsdruck pt MPa 101325.0 r





Gaskonstante Ri kJ∕kgK 287.0 r






Tab. 1: Parameter zur Berechnung der Luftdichte

1.2.2 Blattaerodynamik und Blattgeometrie

Die Eingabeabschnitte “Blattaerodynamik”, “Blattgeometrie” und “Blattfestigkeit” beinhalten alle Parameter zur Beschreibung der Rotorblattgeometrie und grundlegende Parameter zur Auslegung der Windturbine. Maßgebende Parameter sind dabei die Auslegungs-Windgeschwindigkeit c0 und Auslegungs-Schnellaufzahl λD. Diese beschreibt das Verhältnis von Umfangsgeschwindigkeit ω r and der Blattspitze zur Windgeschwindigkeit c0 weit vor dem Rotor (Ebene 0, Abb. 6).

λD = ω-⋅r
      c0
(1)







Parameter ZeichenEinheit Beispielwert Art










Rotorblattauslegung irotor - Betz/Schmitz/Linear i





Schnelllaufzahl λD - 7 r





Nabenradius Rh m 0.1 r





Radius Blattspitze Rt m 2.0 r





Auslegungswindgeschwindigkeit c0 m∕s 10 r





Blattanzahl z - 3 i





Anstellwinkel Design αA,D DEG 5.0 r





Definition Profilbeiwerte ipolar - konstant/polare i





Auftriebsbeiwert Design cA,D - 0.75 r





Widerstandsbeiwert Design cW,D - 0.04 r





Datensatz Profilpolare fpolar - cacw4415_default.dat c










Profilkontur iprofil - 0, 1=berechnen i





Profiltyp NACA NACA - 4415 i





Profilkonturpunkte NACA np - 50 i





Auffädelung Profilschnitte iauf - VK/DP/(yd/l)max/SP i





x-Korrektur Druckpunkt xrel,corr - 0.35 r





y-Korrektur Druckpunkt yrel,corr - 0.01 r





Anzahl Radien Profilschnitte np - 50 i






Tab. 2: Blattaerodynamik und Blattgeometrie

Der Parameter irotor definiert die Art der Rotorblattauslegung. Die Betzsche Optimalauslegung führt auf einen Verlauf der Flügeltiefe von

                            3
tBetz(r) = 16-⋅ 1-⋅ 2πr-⋅---c0----
          27  z  cA,D   c2ωrcos(β)
(2)

Der Design-Zuströmungwinkel β1,D,Betz(r) für den Radius r berechnet sich aus

                  (          )
                    3  r
β1,D,Betz(r) = atan  2 ⋅ R-⋅λD
                        t
(3)

Der Winkel ist gemäß Abbildung 2 relativ zur Maschineachse bzw. zur axialen Anströmrichtung definiert.

Für die Auslegung nach Schmitz folgt ein Tiefenverlauf von

                           (       )
t      (r) = 16π--⋅ 1-⋅rsin2 1α (r)
 Schmitz     cA,D  z         3 1
(4)

mit

            (      )
α (r) = atan  -Rt---
 1            r ⋅λD
(5)

Der Design-Zuströmungwinkel β1,D,Schm für den Radius r berechnet sich mit

             2
αD,Schm (r) = --⋅α1(r)
             3
(6)

zu

                ∘
β1,D,Schm(r) = 90 - αD,Schm (r)
(7)

Der zugehörige Winkel der Profilsehne im Auslegungspunkt folgt für beide Auslegungsarten aus

βmech,D(r) = β1,D (r)+ αA,D
(8)

Zur Berechnung der aerodynamischen Turbinenleistung Paero im Auslegungspunkt werden zusätzlich Profilverluste und Verluste durch Umströmung der Blattspitzen (Tip-Verluste) berücksichtigt (vgl. [1]):

Paero = cp,Schm ⋅ηprofil ⋅ηtip                         (9)
                                                   (10)
Profilverluste:
            3   r  λ
ηprofil = 1 ---⋅---⋅--
            2  Rt   ε
(11)

Tip-Verluste nach Prandtl:

      (                       ) 2
      (          2π- ----1----)
ηtip =   1- 0.44 ⋅3z ⋅∘ --2---4
                       λ D + 9
(12)

Es besteht die Möglichkeit die aerodynamischen Beiwerte cA,D und cW,D für die Auslegungsrechnung direkt vorzugeben. Dazu ist der Parameter Definition Profilbeiwerte bzw. ipolar auf konstant einzustellen. Wird eine Datei mit den Profilpolaren gegeben (Parameter Datensatz Profilpolare, fpolar) und der Parameter ipolar auf polare eingestellt, erfolgt die Berechnung der aerodynamischen Beiwerte auf Basis des geg. Anstellwinkels αA,D.

Eine zusätzliche Berechnung und Ausgabe der Profilgeometrie ist mit der Aktivierung des Parameters iprofil möglich. Zur Berechung der Profilkontur ist die vierziffrige NACA-Profilsystematik hinterlegt. Das Profil wird durch np Konturpunkte beschrieben (gerade Anzahl, identische Punkteanzahl auf der Saug- und Druckseite). Die Wahl des Auffädelpunktes für eine gegebene Anzahl Profilschnitte ns wird durch den Parameter iauf vorgenommen (VK = Vorderkante, DP = Druckpunkt, (yd/l)max = Koordinate der max. Profildicke auf der Skelettlinie, SP = Schwerpunkt). Der Fädelpunkt für die Druckpunkt-Vorgabe wird durch manuelle Definition der relativen Sehnelängenkoordinate festgelegt: Dazu werden die Parameter xrel,corr und yrel,corr verwendet.

Zur Festigkeitsbewertung der Blattwurzel wird von einem kreisförmigen Blattanschluss mit den Abmessungen Dbl,a,root und Dbl,i,root ausgegangen. Für den inneren Blattbereich erfolgt die Festigkeitsbewertung anhand der max. Zugdehnung εbl,zul oder der max. Zugspannung σbl,zul durch die Wahl des Parameters istr. Die Blattwurzelbelastung durch Gewichtskräfte wird durch die Blattmasse festgelegt, die entweder direkt vorgegeben werden kann (Parameter ibl,mass, Wert: Vorgabe, massbl) oder durch die Angabe der Blattdichte ρbl berechnet wird. Die Berechnung der Masse erfordert die Aktivierung der Profilgeometrieberechnung durch entsprechende Auswahl von iprofil.







Parameter Zeichen Einheit Beispielwert Art










Aussendurchmesser Blattwurzel Dbl,a,root m 0.02 r





Innendurchmesser Blattwurzel Dbl,i,root m 0.013 r





E-Modul Blattwurzel Ebl,root MPa 210000 r





max. Zugspannung Blattwurzel σbl,root,zul MPa 250 r





Spannungsbewertung Blatt istr - Dehnung /Spannung r





max. Zugdehnung εbl,zul - 0.0035 r





max. Zugspannung σbl,zul MPa 100 r





E-Modul Blatt Ebl MPa 40000 r





Definition der Blattmasse ibl,mass - berechnen Vorgabe i





Dichte des Blattmaterials ρbl kg∕m3 2000 r





Blattmasse mbl kg 0.75 r






Tab. 3: Blattfestigkeit und Masse

1.2.3 Turm

Analog zur Festigkeitsbewertung der Blattwurzel wird bei der Turmnachrechnung ebenfalls von einem kreisringförmigen Anschluss an das starre Fundament ausgegangen. Die maximal zulässige Zugspannung wird zur Begrenzung der Anlagenkennlinie verwendet (vgl. Abschnitt 1.2.4).







Parameter ZeichenEinheitBeispielwertArt










Nabenhöhe Ht m 10 r





Aussendurchmesser Turm Dt,a m 0.06 r





Innendurchmesser Turm Dt,i m 0.05 r





E-Modul Turm Et MPa 210000 r





max. Zugspannung σt,zul MPa 100 r






Tab. 4: Turm

1.2.4 Kennfeld und Betriebsbereich

Auf Basis der Auslegungsrechnung können hier für eine feste Geometrie mit gegebenen Profilpolaren Kennlinien berechnet werden. Für Betriebspunkte der Anlage außerhalb des Auslegungspunktes (z.B. Drehzahl-, Windgeschwindigkeits-, Pitchwinkeländerung) stellen sich in der Rotorebene vom Auslegungspunkt abweichende Anströmwinkel ein. Der Anströmwinkel in der Rotorebene für beliebige Betriebspunkte wird durch folgende Gleichung beschrieben:

              (                    )
                8πr-
0 = t⋅cA (α )-    z  ⋅fvel + t⋅cW (α) ⋅tan (α1 - α )
(13)

Dabei werden die Profilverluste und Verluste durch Umströmung der Blattspitzen (Tip-Verluste) bzw. Glauerts empirischer Ansatz berücksichtigt:

       1   ( 2  ) ∘ -------------
fvel = 4sin  3α1    9 - 2y2 + 9y4 f¨ur  sin(α) < sin (αmin )              (14)

             mit  y = --sin(α-)-                                       (15)
                      sin(2∕3α1 )
                     fvel = sin (α ) f¨ur  sin(αmin) ≥ sin (α) ≥ sin(αmax ) (16)

                 fvel = sin(αmax ) f¨ur sin(α) > αmax                   (17)
Die Lösung der Gleichung (Nullstellensuche) erfolgt durch ein Pegasus-Verfahren und liefert den Anströmwinkel im entsprechenden Radienschnitt r. Die relative Zuströmgeschwindigkeit w berechnet sich aus:
w = w1 ⋅cos(α1 - α )⋅ 8πr-⋅fvel ⋅-------1----------
                     z         8πzr-⋅sin(α)+ tcW (αA)
(18)

Für die Kräfte am Blattelement gilt:

            ρ-  2
 dA (r) =   2 ⋅w  ⋅t⋅dr ⋅cA(αA)                          (19)
            ρ-  2
dW  (r) =   2 ⋅w  ⋅t⋅dr ⋅cW(αA )                         (20)
 dS (r) =   dA (r) ⋅cos(α )+ dW (r)⋅ sin(α )                (21)

 dU (r) =   dA (r) ⋅sin (α )- dW (r) ⋅sin (α )                (22)
dM  (r) =   dU (r) ⋅r                                     (23)
Zur Berechnung von Kennlinien wird der Parameter iod durch Auswahl von berechnen aktiviert und die gewünschte Variationsvariable ic gewählt (Drehzahl, Windgeschwindigkeit der Zuströmung, Pitchwinkel). Die Drehzahl nod für eine Pitchwinkelkennlinie wird nur verwendet, wenn die Variationsvariable ic auf Pitchw. eingestellt ist. Die Kennlinien werden entsprechend der Wertelisten für ni, c0,i, αpt,i als Funktion der Schnellaufzahl im Intervall λstart bis λstop mit ni Punkten berechnet.







Parameter ZeichenEinheit Beispielwert Art










Kennlinienrechnung iod - 0 , 1=berechnen i





Variationsvariable ic - Drehz. /Windge./Pitchw.





Drehzahl Pitchwinkelkennlinie nod 1∕min 300 r





Lambda Start λstart - 0 r





Lambda Stop λstop - 14 r





Anzahl der Lambda-Punkte ilambda - 25 i





Drehzahlen ni 1∕min 200.0 r





Windgeschwindigkeiten (Ebene 0) c0,i m∕s 10.0 r





Pitchwinkel αpt,i Grad 0.0 r






Tab. 5: Kennfeld und Betriebsbereich

Zur Berechnung der Anlagenkennlinie (Parameterwert ikl: berechnen) werden die Maximalwerte der Turbinenleistung P von Kennlinien (Leistung in Abhängigkeit der Schnelllaufzahl) verschiedener Zuströmwindgeschwindigkeiten (Intervall c0 bis 25 m/s) ermittelt und aufgetragen. Ist die Leistungsbegrenzung ipow aktiviert, werden die berechneten Spannungen in der Turm- und Blattwurzel für jeden Kennlinienpunkt mit den zulässigen Werten σt,zul und σz,zul (bzw. εbl,zul) verglichen. Bei Überschreitung einer der beiden zulässigen Grenzwerte wird die Turbinenleistung konstant gesetzt. In diesen Betriebspunkten ist bei pitchgeregelten Anlagen die Pitchverstellung aktiv, um die Betriebslasten zu begrenzen.

Die berechnete oder vorgegebene Anlagenkennlinie (siehe online Hilfe zum Dateiformat der Kennlinienvorgabe) wird zur Bestimmung des Energieertrages Eg auf Basis einer Weibull-Verteilung verwendet.

      kW   (  c0 ) (kW -1)  - ( c0-)kW
hW =  ----⋅  ----       ⋅e   AW
      AW     AW
(24)

Der Ertrag Eg im Zeitraum Th ergibt sich bei vorliegender Leistungskennlinie P(c0) aus

      ∑
Eg =     hi ⋅PiTh
(25)







Parameter Zeichen Einheit Beispielwert Art










Anlagenkennlinie ikl - ber. /Vorgabe/Vergl. i





Leistungsbegr. (Festigk.) ipow - 0 , 1=berechnen i





Anzahl Kennlinienpunkte npow - 30 i





Weibull Skalierung AW m∕s 5 r





Weibull Formfaktor kW - 2 r





Ertrag Einschaltwindgeschw. cin m∕s 3 r





Ertrag Ausschaltwindgeschw. cout m∕s 25 r





Ertrag Zeitraum Th h 8730 r





Anlagenkennlinie Vorgabe power_curve - kennfelddatei.dat c






Tab. 6: Anlagenkennlinie und Ertragsberechnung

1.2.5 Triebstrang

Die elektrische Leistung der Turbine folgt aus der Vorgabe des Wirkungsgrades des Antriebsstranges ηts. Dieser fasst alle mechanischen (z.B. Lager, Getriebe) und elektrischen Verluste zusammen.

Pelektr = Paero ⋅ηts                              (26)

Die Parameter DW,a, DW,i, Lrb, mhub und Lrt sind die Eingabewerte für das vereinfachte Lastmodell nach der Europäische Norm EN 61400-2.







Parameter ZeichenEinheitWertArt










Wirkungsgrad: Antriebsstrang ηts - 0.9 r





Außendurchmesser Hauptrotorwelle DW,a m 0.05 r





Innendurchmesser Hauptrotorwelle DW,i m 0 r





Abstand Rotorschwerpunkt - Lager Lrb m 0.01 r





Nabenmasse mhub kg 0.25 r





Abstand Rotorschwerpunkt - Gierachse Lrt m 0.01 r






Tab. 7: Parameter zur Beschreibung des Antriebsstranges

1.2.6 Numerik

Die Parameter itermax und tol dienen der Steuerung des Pegasus-Verfahrens zur Ermittlung des Zuströmwinkels bei λλD.







Parameter ZeichenEinheit Wert Art










Iterationen (Nullstellensuche-Kennfeld)itermax - 50 i





Abbruchkriterium (Pegasus-Verfahren) tol - 1.0E-6 r






Tab. 8: Numerik

1.2.7 Datenexport

Zur Weiterverwendung des Turbinenentwurfes in CAD- oder Mehrkörpersimulations-Programmen werden verschiedene Export-Schnittstellen angeboten. Für CAD-Programme erfolgt der Export einer 3D-STEP-Datei durch den Parameter istep, wobei die Geometrieart durch den Parameter isolid festgelegt wird. Dabei steht ein Drahtmodell sowie ein Volumenmodell zur Auswahl (vgl. dazu Abschnitt 1.3).







Parameter ZeichenEinheit Wert Art










STEP-Datei export istep - 0, 1=berechnen i





STEP-Geometrie isolid - Draht/Volumen/beides i





NREL-FAST-AERODYN-INPUT iNREL - 0 , 1=berechnen i






Tab. 9: Exportfunktionen

1.3 Entwurf der Blattgeometrie

Die Berechnung der Blattgeometrie erfolgt für diskrete Radienpunkte r der Blattelemente. Für jedes Element wird die Geometrie des Profilschnitts (Blattiefe und Profilkontur) sowie die Strömungsgrößen berechnet.


PIC

Abb. 1: Diskrete Radienkoordinaten


Die Definition der Strömungs- und Einbauwinkel ist in Abbildung 2 dargestellt.


PIC

Abb. 2: Winkeldefinition und Sehnenkoordinatensystem


Die Profilgeometrie wird nach der NACA-Profilsystematik berechnet. Die erforderliche Verwindung der einzelnen Profilschnitte wird durch eine Koordinatentransformation mit dem jeweiligen Einbauwinkel αbau durchgeführt.

Im Programm bestehen verschiedene Möglichkeiten den Koordinatenursprung des transformierten Koordinatensystems zu definieren. Die Auffädelung der Profilschnitte ergibt sich nach Abbildung 3 folgende Auswahl:


PIC

Abb. 3: Auffädelung der Profilschnitte


Die berechnete Rotorblattgeometrie kann wie in Abschnitt 1.2.2 erläutert als 3D-Step-Datei exportiert werden, um diese in einem CAD-Programm weiter zu verarbeiten. Die Geometrie beinhaltet die Profilkonturen an diskreten Radienschnitten, die in der Mitte der Blattelemente positioniert sind. Daher ist die Geometrie im Radienintervall Rh + dr∕2 bis Rh - dr∕2 definiert (mit dr als Blattelementlänge). Eine glatte, kontinuierliche Blattgeometrie des gesamten Rotorblattes für beliebige Profilverläufe kann durch calcing.de hergestellt werden. Wir verwenden dazu die leistungsfähige CAD-Bibliothek OPENCASCADE.

Abbildung 4 zeigt das einfache Berechnungsmodell der Windturbine mit den Koordinatensystemen, die sich an der Richtlinie “Germanischer Lloyd - Zertifizierung von Windenergieanlagen” orientieren.


PIC

Abb. 4: Modell der Windturbine


2 Grundlagen und aerodynamisches Modell

2.1 Strömungsmodell


PIC

Abb. 5: Modell der Windkraftanlage


Modellvorstellung und Vereinfachungen:

2.2 Schubkraft in der Rotorebene

Kontinuität:

m˙=  ρ⋅c0 ⋅ A0 = ρ⋅c1 ⋅A1,2 = ρ ⋅c2 ⋅A1,2 = ρ⋅c0 ⋅A3
(27)

Impulsbilanz von 0 nach 1

                                     01
-m˙ ⋅c0 + m˙⋅c1 = p0 ⋅A0 - p1 ⋅A1,2 + FRandz
(28)

Impulsbilanz von 2 nach 3

- ˙m ⋅c2 + m˙ ⋅c3 = p2 ⋅A1,2 - p3 ⋅A0 - p3 ⋅(A3 - A0) + F1R2and
                                                        z
(29)

Summe der beiden Bilanzen (mit c1 = c2 und p3 = p0)

m˙⋅(c3 - c0) = A1,2 ⋅(p2 - p1) + FRandz - p3 ⋅(A3 - A0)
              ◟-----◝◜----◞   ◟--------◝◜---------◞
                  FRotor                 0
(30)

bzw.

                                                ∫
                      2             2                      ⃗
FRotor = m˙(c3 - c0)+ ρc0(A - A3 )- ρc0(A - A0) + Randρcz(⃗cdA)
(31)

mit

∫                  ∫
      ρc (⃗cd ⃗A) = c      ρ(⃗cdA⃗)
  Rand  z         0 Rand
(32)

und

      ∫
m˙K  =       ρ(⃗cd⃗A) = ρc0(A3 - A0)
       Rand
(33)

Für die resultierende Rotorkraft folgt

|--------------------|
|F     = m˙⋅(c  - c) |
--Rotor--------3----0-
(34)


PIC

Abb. 6: Strömungsmodell: Druck- und Geschwindigkeitsverlauf


2.3 Geschwindigkeit in der Rotorebene

1. Hauptsatz von 0 1

        ∫ 1
a = 0 =     v dp+ g ⋅(z1 - z0)+ 1-⋅(c2 - c2)
         0        ◟----◝◜---◞  2    1,2   0
                       0
(35)

1. Hauptsatz von 2 3

        ∫ 3                    1    2   2
a = 0 =     v dp+ g◟-⋅(z3◝ -◜-z2)◞+ 2-⋅(c3 - c1,2)
         2             0
(36)

Addition von Gleichung 35 und 36:

0 = 1-⋅(p1 - p0 + p3 - p2)+ 1⋅(c2- c2)
    ϱ                      2   3   0
(37)

Multiplikation mit dem Massenstrom = ϱ A1,2 c1,2:

m˙ ⋅ 1-⋅(c23 - c20) = ϱ ⋅A1,2 ⋅c1,2 ⋅ 1-⋅(p2 - p1)
    2                         ϱ
(38)

Aus Impulsbilanz gilt

    1                         1
m˙⋅ -⋅(c23 - c20) = ϱ⋅ A1,2 ⋅c1,2 ⋅-⋅(p2 - p1) = c1,2 ⋅ ˙m ⋅(c3 - c0)
    2                         ϱ
(39)

Daraus erhält man für die Geschwindigkeit in der Rotorebene

      1  (c2- c2)   1
c1,2 = --⋅--3---0- = --⋅(c3 + c0)
      2  (c3 - c0)  2
(40)

2.4 Leistung der Windturbine

1. Hauptsatz von 0 3

           ∫3
     a  =     v dp + g ⋅(z - z )+ 1-⋅(c2- c2)              (41)
                         3    0   2    3   0
           0
        =  (p3---p0)+ g ⋅(z  - z )+ 1-⋅(c2 - c2)             (42)
               ϱ      ◟---3◝◜---0◞  2   3    0
           ◟p-=◝◜p-→0◞    z3=z0→0
             3  0
P-=  a  =  1-⋅(c23 - c20)                                    (43)
˙m          2
P =  ˙m ⋅a = ϱ⋅A1,2 ⋅c1,2 ⋅ 1-⋅(c23 - c20)                  (44)
                        2
Durch entsprechende Umformung erhält man Gleichung 45,
                      (      )  [ (  )2    ]
P  = ϱ⋅A    ⋅ 1-⋅c3 ⋅ 1-⋅ c3+ 1 ⋅   c3   - 1
         1,2  2  0  2    c0         c0
(45)

aus der die optimale Verzögerung für die maximale Leistung berechnet werden kann.
Mit x = c3
c0

-----P-------  1-           2
ϱ⋅A1,2 ⋅ 1⋅c3 = 2 ⋅(x + 1)⋅(x - 1)
        2  0
(46)

1. Ableitung mit Produktregel: u = x + 1, u= 1, v = x2 - 1, v= 2x
Extremstelle: dP
dx- = 0

dP
--- = 1 ⋅(x2 - 1)+  2x⋅(x + 1) = 0 = 3x2 + 2x - 1
 dx
(47)

Mit der p-q-Formel findet man die Nullstellen zu

       1       √ --------          1
x1,2 = 6 ⋅(- 2±  4 + 4⋅3) ⇒   x1 = 3- (x2 = - 1)
(48)

Damit ergibt sich

    Pmax        1  ( 1   )   (1    )     16
--------1---3 = --⋅  -+ 1  ⋅  --- 1  = - ---= - 0.592
ϱ ⋅A1,2 ⋅2 ⋅c0  2    3        9          27
(49)

Der maximal erreichbare Leistungsbeiwert cp,Betz beträgt

         16
cp,Betz = 27-= 0.592
(50)

Er tritt bei einer Verzögerung von c0 auf c3 = 1
3c0 auf. Rund 60% der im Wind vorhandenen Leistung sind also durch eine ideale Windturbine entnehmbar! Dabei beträgt die Geschwindigkeit in der Radebene durch Einsetzen von c3 in Gleichung 40

      2
c1,2 = -c0
      3
(51)

Den Betzschen Leistungsbeiwert erreicht nur eine ideale Maschine. In ihm sind nur die Verluste durch die axiale Austrittsgeschwindigkeit berücksichtigt.

Zur graphischen Anschauung werden die Beziehungen für den Massenstrom, die Kraft und die Turbinenleistung auf Bezugsgrössen am Stromröhreneintritt normiert.

Massenstrom durch die Windturbine

                           1                    1 ( c    )
m˙ = ϱ⋅A1,2 ⋅c1,2 = ϱ ⋅A1,2 ⋅-(c3 + c0) = ϱ ⋅A1,2 ⋅c0 3-+ 1
                           2                    2   c0
(52)

Bezugsmassenstrom

m˙0 = ϱ ⋅A1,2 ⋅c0
(53)

Normierter Massenstrom

 ˙m    1 ( c3   )
--- = --  --+ 1
m˙0    2   c0
(54)

Kraft auf den Rotor

                               1-                           1- 2   2
FRotor = ˙m ⋅(c3 - c0) = ϱ ⋅A1,2 ⋅ 2(c3 + c0)⋅(c3 - c0) = ϱ⋅A1,2 ⋅ 2(c3 - c0)
(55)

Bezugskraft

F      = ϱ ⋅A   ⋅ 1c2
  Rotor0       1,2  2 0
(56)

Normierte Kraft

         (   )
FRotor-    c3  2
FRotor0 =   c0   - 1
(57)

Leistung

                      (      )  [ (  )     ]
             1- 3  1-   c3         c3  2
P  = ϱ⋅A1,2 ⋅2 ⋅c0 ⋅2 ⋅  c0 + 1 ⋅   c0   - 1
(58)

Energie der Zuströmung

             1- 3
P0 = ϱ⋅A1,2 ⋅ 2 ⋅c0
(59)

Normierte Leistung

        (       )  [(   )2    ]
P--=  1⋅  c3 + 1  ⋅   c3   - 1
P0    2   c0          c0
(60)


PIC

Abb. 7: Verlauf der normierten Größen


2.5 Drallbehaftete Rotorabströmung

Mit der Annahme, dass der Rotor die in den vorhergehenden Abschnitten hergeleitete Strömungsverzögerung realisiert (c3∕c0 = 13, c1 = cm1 = 23c0) sowie eine drallfreie Zuströmung vorliegt, folgt aus der Eulergleichung und dem 1. Hauptsatz:

a = u  ⋅c   = 1-⋅(c2- c2)
     2   u,2   2    3   0
(61)

Daraus folgt mit u = u2:

                  ((   )     )
         (c0)2 1-    c3  2
cu,2 = u ⋅  u   2 ⋅   c0   - 1
(62)

          (  )
cu,2 = - u ⋅ c0 2 4-
            u   9
(63)

Kontinuitätsgleichung:

ϱ ⋅cm3 ⋅A3 = ϱ⋅cm2 ⋅A2
(64)

r2    1
--=  √--
r3     2
(65)

Damit ergibt sich der Drall in der Ebene 3 zu

r2 ⋅cu2 = r3 ⋅cu3
(66)

      -1-
cu3 = √2-⋅cu2
(67)

Literatur

[1]   Gasch, R.; Windkraftanlagen, Teuber Stuttgart, 3. Auflage, 1996

[2]   Hau, Erich; Windkraftanlagen-Grundlagen, Technik, Einsatz, Wirtschaftlichkeit, Springer-Verlag, 4. Auflage, 2008

[3]   Kühn, M.; Dynamik, Belastungen und Entwurf von Windenergieanlagen und deren Komponenten, Seminarunterlagen, Universität Stuttgart, 2010

[4]   Manwell, J.F.; Mcgowan, J.G.; Rogers, A.L.; Wind Energy Explained - Theory, design and application, 2. edition, Wiley, 2009

[5]   Burton, T.; Sharpe, D.; Jenkins, N.; Bossanyi, E.; Wind Energy Handbook, Wiley, 2001

[6]   Traupel, W; Thermische Turbomaschinen: Band 1, Band 2, Springer Verlag, 2001

[7]   Lawerenz, M.; Grundlagen der Strömungsmaschinen, Fluiddynamik, Vorlesungsskripte Universität Kassel, 2005